###1.
**已知 $ f(x) = \frac{2^x}{1+a\cdot2^x} $ 关于点$（0，1）$ 对称，求 $ a = \_\_$**
***解：***
$f(x)$ 关于点 $（0，1）$ 对称，则有： $ f(-1) + f(0) = 2f(0)$
$\frac{2}{1+2a} + \frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}a} = 2\times\frac{1}{1+a}$
得： $a = \frac{1}{2} $
### 2.
已知关于 $x$ 的函数 $y = a^{2x} + 2a^x -1$ 在 区间 $[-1,1]$ 的最值为 $14$ , 求 $a$ 的值。
***解：***
令 $a^x = t $ ，则 $f(t) = t^2 + 2t -1$ , 在 $[-1, \infty)$ 上递增
#### (1）
• 当 $a \in (0,1)$ 时，$t \in [a, \frac{1}{a}]$ , $f(t)$ 在 $t = \frac{1}{a}$ 时有最大值 $14$ , 代入得：
• $(\frac{1}{a})^2 + \frac{2}{a} -1 = 14$
• 解之得： $a_1 = \frac{1}{3} $ ， $a_2= -\frac{1}{5} \notin [-1, 1]$
#### (2)
• 当 $a \in [1, +\infty)$ 时，$t \in [\frac{1}{a}, a]$ ，$f(t)$在 $t = a$ 时有最大值 $14$ 代入得：
• $a^2 + 2a -1 = 14$
• 解之得 ：$ a_1 = 3$ $a_2 = -5 \notin [-1, +\infty)$
综上所述， $a = 3 $ 或 $ \frac{1}{3}$
